高中數學︱微積分難題瞬間變簡單！IB數學導師拆解「換個畫法」解題秘訣

【高中數學/微積分】「公式明明識，為甚麼一遇到陌生題目，就不知道從哪裏開始？」如果孩子在高中數學遇到這種情況，我建議家長先不要急着歸因於粗心，或只要求增加操卷數量。有時值得檢查的，不是他懂不懂計算，而是他怎樣選擇第一步。

學過微積分的學生，遇到「最短距離」可能會想到：先列出距離的表達式，再求導數。這是一條可行的路，但在動筆前，若先看看圖形的結構，同一道題目也可能有更簡潔的解法。

以下用我一段教學片中的例子，說明這種「換個畫法」的思考。家長毋須懂得微積分，也可以掌握其中的道理。

想像一個座標圖：A點在 ，C點在 。我們要由A出發，先到橫軸上的B點，再走到C；B

可以沿橫軸移動，沒有其他限制，問題是怎樣選 B，才能令兩段路程的總和最短。

把B的座標寫成 ，運用距離公式，總路程便是：

對已學微積分的學生來說，可以繼續求導數，再判斷何時取得最小值。這個方法沒有錯；不過，在開始處理兩個根式之前，我會先問：「能不能改畫這幅圖，卻不改變要比較的距離？」

把橫軸想像成一面鏡子，將 C 點反射到下方，得到 。由於B在鏡面上，無論它沿橫軸移到哪裏，B到C的距離，都等於B到C′的距離。

因此，原本的路程 ，可以換成長度完全相同的 。看起來只是把一點搬到下方，其實已把問題改寫：現在要找的，是由A經B到C′的最短路程。

兩點之間，直線距離最短。當B正好位於直線AC′與橫軸的交點，A、B、C′ 連成一直線，這條折線便取得最短長度；而這個交點確實在 B 可以移動的範圍內。

這裏最重要的，不是記住「遇到最短距離就反射」，而是說清楚兩件事：反射後，為甚麼總長度不變？拉直後，找到的B又是否符合原題限制？

換了畫法之後，A與C′的水平距離是10，垂直距離是20，所以原來兩段路程的最小總長度為：

先到橫軸，再去另一點，怎樣走最短？把C點「照鏡」，路程便可以拉直難題變成了距離與直線問題如果還要找出B 的位置，只需看直線 AC′。它的方程是 ，與橫軸相交時 ，所以，即B應選在 。

不是題目突然變容易了，而是我們找到了一種更容易看清關係的表達方式。微積分可以處理這道題目，幾何反射則讓「為甚麼這條路最短」直接呈現在圖上。

如果孩子看完解答，只能說「先把C反射下去，再連直線」，他可能記住了步驟，但未必能解釋原因。我更建議用三條問題，看看他理解了甚麼。

「反射之後，有甚麼沒有改變？」 重點是B到C與B到C′等長，所以我們沒有偷偷換成另一個距離問題。

「為甚麼不能直接由 A 連到 C？」 原題要求途中必須到橫軸，而 A、C 之間的直線段沒有到達橫軸，不能忽略這項限制。

「如果B只能在橫軸的一小段移動，還能照用嗎？」要先檢查直線 AC′ 的交點是否落在允許範圍。若不在，便不能直接把AC′的長度當成可達到的答案，必須重新判斷。

這些追問不是要家長代替老師講解整套方法，而是幫孩子把「看懂了」說得更具體。能解釋方法為甚麼成立，也知道甚麼情況下不能照搬，才是值得建立的理解。

我不希望學生從這道題目得出「微積分不好，技巧才重要」的結論。真正值得練習的，是在計算之前先觀察：題目有哪些限制？甚麼關係保持不變？有沒有另一種畫法，讓問題更清楚？

對高中數學而言，熟練計算與靈活選擇方法可以並存。下一次孩子卡在一道陌生題目時，除了問「哪一步不懂」，家長也可以問：「你為甚麼選這個方法？如果換個畫法，會不會看見另一條路？」

撰文︰Ken Sir

學臻教育（Mathetactics）創辦人及IB數學導師，專注IB及A-Level數學。以三年全免學費獎學金修畢香港大學，著有多本高中數學參考書，曾獲朗文出版社邀請主講公開試分析講座。

文章網址: HKET TOPick https://topick.hket.com/article/4213037

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